Tugas Mandiri 5 Matematika Diskrit

Nama : Sinta
Jurusan: Sistem Informasi
Kelas: Pagi

A. Buatlah 3 contoh pembuktian dengan induksi matematika.

Jawaban: 

Sn = n/2 (2a + (n - 1)b) atau Sn = n/2 (a + Un)

Untuk membuktikan bahwa suatu rumus itu benar, bisa menggunakan pembuktian dengan induksi matematika. Ada dua langkah dalam induksi matematika yaitu:

1. Buktikan bahwa untuk n = 1 benar
2. Dengan mengasumsikan bahwa untuk n = k benar, maka buktikan bahwa untuk n = k + 1 juga benar

Pembahasan

1.Diketahui: 1 + 3 + 5 + ...... + (2n - 1)

merupakan barisan aritmatika karena selalu bertambah 2, dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama pada deret aritmatika, diperoleh:

Sn = n/2 (a + Un)

Sn = n/2 (1 + (2n - 1))

Sn = n/2 (2n)

Sn = n²

Jadi

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n²

Kita akan buktikan rumus tersebut dengan menggunakan induksi matematika

1) akan dibuktikan untuk n = 1 benar

(2 . 1 - 1) = 1²

(2 - 1) = 1

1 = 1

(Benar)

2) misal untuk n = k benar, maka berlaku

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k²

(Benar)

Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar

1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)²

|________________|

            k²                     + (2k + 2 - 1) = (k + 1)²

                                     k² + 2k + 1    = (k + 1)²

                                             (k + 1)² = (k + 1)²

Terbukti

2. Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n². Untuk membuktikan bahwa suatu rumus itu benar, bisa menggunakan pembuktian dengan induksi matematika. Ada dua langkah dalam induksi matematika yaitu:

1. Buktikan bahwa untuk n = 1 benar
2. Dengan mengasumsikan bahwa untuk n = k benar, maka buktikan bahwa untuk n = k + 1 juga benar

Pembahasan

S(n) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n²

1) akan dibuktikan untuk n = 1 benar

(2 . 1 - 1) = 1²

(2 - 1) = 1

1 = 1

(Benar)

3. Buktikan dengan induksi matematika pernyataan P(n)= n (n + 1) (n + 5) adalah bilangan kelipatan 3

Pembahasan :

Dengan induksi matematika, akan dibuktikan bahwa

P(n)= n (n + 1) (n + 5) adalah bilangan kelipatan 3

1) akan dibuktikan untuk n = 1 benar
P(1) = 1 (1 + 1) (1 + 5)
P(1) = 1 (2) (6)
P(1) = 12 adalah kelipatan 3

2) andaikan untuk n = k benar
P(k) = k (k + 1) (k + 5) adalah kelipatan 3

akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar
P(k + 1)
= (k + 1) ((k + 1) + 1) ((k + 1) + 5)
= (k + 1) (k + 2) (k + 6)
= (k + 1) (k² + 6k + 2k + 6)
= (k + 1) (k² + 8k + 6)
= (k + 1) ((k² + 5k) + (3k + 6))
= (k + 1) (k² + 5k) + (k + 1) (3k + 6)
= (k + 1) k(k + 5) + (k + 1) 2(k + 2)
= k(k + 1)(k + 5) + 3(k + 1)(k + 2)

k(k + 1)(k + 5) adalah kelipatan 3 (berdasarkan n = k)
3(k + 1)(k + 2) adalah kelipatan 3 (sudah jelas karena ada perkalian 3)
Jadi
k(k + 1)(k + 5) + 3(k + 1)(k + 2) juga kelipatan 3

TERBUKTI

B. Soal Kombinatorial (Langkah penyelesaian dapat dilihat pada slide Pertemuan 11 halaman 6)

1) Akan dilakukan Pemilihan 1 orang Ketua Kelas Program Studi Teknik Informatika ITB Indonesia. 

Jumlah pria pada satu kelas tersebut adalah 65 orang pria dan 15 orang wanita. Berapa banyak cara 

memilih ketua angkatan?

2) Berapa banyak bilangan ganjil antara 100 dan 10000 (termasuk 100 dan 10000 itu sendiri) yang: 

(Langkah penyelesaian dapat dilihat pada slide Pertemuan 11 halaman 9)

a. Semua angkanya berbeda

b. Boleh ada angka yang berulang

B. Soal Kombinatorial (Langkah penyelesaian dapat dilihat pada slide Pertemuan 11 halaman 6)

1) Akan dilakukan Pemilihan 1 orang Ketua Kelas Program Studi Teknik Informatika ITB Indonesia. 

Jumlah pria pada satu kelas tersebut adalah 65 orang pria dan 15 orang wanita. Berapa banyak cara 

memilih ketua angkatan?

2) Berapa banyak bilangan ganjil antara 100 dan 10000 (termasuk 100 dan 10000 itu sendiri) yang: 

(Langkah penyelesaian dapat dilihat pada slide Pertemuan 11 halaman 9)

a. Semua angkanya berbeda

b. Boleh ada angka yang berulang

Penyelesaian: